Modele disk

qui est la forme générale d`un cercle orthogonale au cercle d`unité, ou autrement par des diamètres. Compte tenu de deux points vous et v dans le disque qui ne se trouvent pas sur un diamètre, nous pouvons résoudre pour le cercle de cette forme passant par les deux points, et d`obtenir les distances dans ce modèle sont des métriques Cayley – Klein. Compte tenu de deux points distincts p et q à l`intérieur du disque, la ligne hyperbolique unique qui les relie intersecte la limite à deux points idéaux, a et b, les étiquetent de sorte que les points soient, dans l`ordre, a, p, q, b et | AQ | > | AP | et | PB | > | QB |. Quand le disque utilisé est le disque d`unité ouverte et l`un des points est l`origine et la distance euclidienne entre les points est r alors la distance hyperbolique est: ln (1 + r 1 ? r) = 2 arctanh r {displaystyle ln left ({frac {1 + r} {1-r}} droite) = 2 operatorName {arctanh} r } où arctanh {displaystyle operatorname {arctanh}} est la fonction hyperbolique inverse de la tangente hyperbolique. Un point (x, y) dans le modèle de disque de Poincaré mappe à (2 x 1 + x 2 + y 2, 2 y 1 + x 2 + y 2) {displaystyle left ({frac {2x} {1 + x ^ {2} + y ^ {2}}} , {frac {2y} {1 + x ^ {2} + y ^ {2}}} right)} dans le modèle Klein. où les XI sont les coordonnées cartésiennes de l`espace euclidien ambiant. Les géodésiques du modèle de disque sont des cercles perpendiculaires à la sphère de délimitation SN ? 1. Lors de la projection des mêmes lignes dans les deux modèles sur un disque, les deux lignes passent par les deux mêmes points idéaux. (les points idéaux restent au même endroit) aussi le pôle de l`accord dans le modèle de disque Klein est le centre du cercle qui contient l`arc dans le modèle de disque Poincaré. Les lignes droites hyperboliques se composent de tous les arcs de cercles euclidiens contenus dans le disque qui sont orthogonaux à la limite du disque, plus tous les diamètres du disque. Un flots horocycliques (une courbe dont les géodésiques normales ou perpendiculaires convergent tous de manière asymptotique dans la même direction), est un cercle à l`intérieur du disque qui touche le cercle de délimitation du disque. Le point où il touche le cercle de délimitation ne fait pas partie du horocycle.

C`est un point idéal et est le centre hyperbolique du horocycle. Un résultat de ceci est que si l`espace hyperbolique est traduit de telle sorte que l`origine dans le disque de Poincaré d`unité soit traduite en v {displaystyle mathbf {v}}, x {displaystyle mathbf {x}} est traduit en en géométrie, le modèle de disque de Poincaré, également appelé le conforme modèle de disque, est un modèle de géométrie hyperbolique en 2 dimensions dans lequel les points de la géométrie sont à l`intérieur du disque de l`unité, et les lignes droites consistent en tous les segments de cercles contenus dans ce disque qui sont orthogonaux à la limite du disque, plus tous les diamètre du disque.